Question

15．過y²=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（　　）

• A． -1
• B． -2
• C． -3
• D． 不確定

Answer 1

分析 可得出拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），并畫出圖形，根據(jù)題意可設(shè)AB的方程為x=ky+1，聯(lián)立拋物線方程消去x便得到y(tǒng)²-4ky-4=0，從而得出y₁y₂=-4，然后可設(shè)$A（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}，{y}_{1}），B（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，這樣便可求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），如圖：
設(shè)直線AB的方程為x=ky+1，代入y²=4x消去x得：
y²-4ky-4=0；
∴y₁y₂=-4；
設(shè)$A（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}，{y}_{1}），B（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，則：
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{{（y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{16}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{16}{16}-4=-3$．
故選C．

點(diǎn)評 考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，過定點(diǎn)且斜率不為0的直線方程的設(shè)法，韋達(dá)定理，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．