Question

已知

a

=（3，-cos（ωx）），

b

=（sin（ωx），

3

），其中ω＞0，函數(shù)f（x）=

a

•

b

的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．且f（

A

2

）=

3

，
①求角A的大�。�②求T=sin²A+sin²B+sin²C的范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：平面向量及應用

分析：（1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換求得函數(shù)f（x）=2

3

sin（ωx-

π

6

），根據(jù)它的最小正周期為π，求得ω 的值，可得f（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的增區(qū)間．
（2）在△ABC中，由 f（

A

2

）=

3

，求得sin（A-

π

6

）=

1

2

，可得A的值．化簡T=sin²A+sin²B+sin²C 為

7

4

+cos（B-C），再根據(jù)cos（B-C）的范圍，得到T的范圍．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=

a

•

b

=3sin（ωx）-

3

cos（ωx）=2

3

sin（ωx-

π

6

）的最小正周期為

2π

ω

=π，
∴ω=2，f（x）=2

3

sin（2x-

π

6

）．
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（2）在△ABC中，∵f（

A

2

）=2

3

sin（A-

π

6

）=

3

，∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，∴A-

π

6

=

π

6

，或 A-

π

6

=

5π

6

，
求得A=

π

3

，或A=π（舍去）．
由以上可得，B+C=

2π

3

，-

2π

3

＜B-C＜

2π

3

故T=sin²A+sin²B+sin²C=

3

4

+

1-cos2B

2

+

1-cos2C

2

=

7

4

-（cos2B+cos2C）=

7

4

-2cos（B+C）cos（B-C）=

7

4

+cos（B-C）．
再根據(jù)-

1

2

＜cos（B-C）≤1，可得T∈（

5

4

，

11

4

]．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換、正弦函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．