Question

已知拋物線方程為y²=4x，過Q（2，0）作直線l．
①若l與x軸不垂直，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，是否存在x軸上一定點(diǎn)E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由？
②若L與X軸垂直，拋物線的任一切線與y軸和L分別交于M、N兩點(diǎn)，則自點(diǎn)M到以QN為直徑的圓的切線長|MT|為定值，試證之．

Answer 1

【答案】分析：①對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在x軸上一定點(diǎn)E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ，再利用設(shè)l的方程為：y=k（x-2），，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用斜率公式即可求得m值，從而解決問題．
②設(shè)P（x，y）在拋物線上，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)y＞0，寫出切線方程，求出以QN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，最后計(jì)算出以QN為直徑的圓的切線長|MT|為定值即可．
解答：解：①設(shè)l的方程為：y=k（x-2），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由消去得：，，y₁y₂=-8（2分）
若∠AEQ=∠BEQ，則k_AE+k_BC=0（3分）
即：（4分）⇒y₁x₂+y₂x₁-m（y₁+y₂）=0⇒-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0⇒m=-2（6分）
故存在m=-2，使得∠AEQ=∠BEQ（7分）
②設(shè)P（x，y）在拋物線上，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)y＞0，則過P點(diǎn)的切線斜率，切線方程為：，且（9分）
令，∴
令，∴（10分）
則以QN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑（11分）
∴=
∴（13分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．注意①的處理存在性問題的一般方法，首先假設(shè)存在，進(jìn)而根據(jù)題意、結(jié)合有關(guān)性質(zhì)，化簡、轉(zhuǎn)化、計(jì)算，最后得到結(jié)論．