Question

6．已知函數(shù)f（x）=mx²-mx-1．
（1）若不等式mx²-mx-1＜0對(duì)m∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
（2）若對(duì)于x∈[1，3]，f（x）＜5-m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令g（m）=mx²-mx-1=（x²-x）m-1，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＜0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$，解此關(guān)于x的不等式組即可求得x的范圍；（2）令h（x）=f（x）-5+m=mx²-mx-6+m，分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)m=0時(shí)易判斷；當(dāng)m＞0時(shí)，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-6+m＜0}\\{f（3）=9m-3m-6+m＜0}\end{array}\right.$即可；當(dāng)m＜0時(shí)，數(shù)形結(jié)合可得f（1）＜0，三者結(jié)合可求得m的取值范圍．

解答 解：（1）令g（m）=mx²-mx-1=（x²-x）m-1，
若對(duì)m∈[1，2]恒成立，則只需$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＜0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$即可，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-1＜0}\\{2{x}^{2}-2x-1＜0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
（2）h（x）=f（x）-5+m=mx²-mx-6+m
①當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=-6＜0顯然恒成立；
②當(dāng)m＞0時(shí)，若對(duì)?x∈[1，3]不等式恒成立，只需$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-6+m＜0}\\{f（3）=9m-3m-6+m＜0}\end{array}\right.$即可，無(wú)解；
③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$，若對(duì)?x∈[1，3]不等式恒成立，結(jié)合函數(shù)圖象知只需f（1）＜0即可，解得m∈R，所以m＜0，
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤0}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，解決恒成立問(wèn)題的常用方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值．