Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：ax²-y²=1（a＞0）
（1）過C₁的左頂點引C₁的一條漸近線的平行線，若該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積不超過$\frac{\sqrt{2}}{8}$，求實數(shù)a的取值范圍
（2）設(shè)斜率為1的直線l交C₁于P，Q兩點，若l與圓x²+y²=1相切且$\overrightarrow{OP}$$⊥\overrightarrow{OQ}$，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 （1）求得雙曲線C₁的左頂點A，設(shè)過點A與一條漸近線平行的直線方程，由此能求出該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積，由條件即可解得a的范圍；
（2）設(shè)直線PQ的方程是y=x+b，直線PQ與已知圓相切，得b²=2，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件，運(yùn)用向量垂直的條件即可求得a．

解答 解：（1）雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{a}}$-y²=1，左頂點A（-$\frac{1}{\sqrt{a}}$，0），漸近線方程y=±$\sqrt{a}$x，
過點A與漸近線y=$\sqrt{a}$x平行的直線方程為y=$\sqrt{a}$（x+$\frac{1}{\sqrt{a}}$），即y=$\sqrt{a}$x+1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{a}x}\\{y=\sqrt{a}x+1}\end{array}\right.$，得x=-$\frac{1}{2\sqrt{a}}$，y=$\frac{1}{2}$．
∴該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{a}}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4\sqrt{a}}$，
由S≤$\frac{\sqrt{2}}{8}$，解得a≥2；
（2）設(shè)直線PQ的方程是y=x+b，
∵直線PQ與已知圓相切，∴$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=1，解得b²=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{a{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（a-1）x²-2bx-b²-1=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{2b}{a-1}$，x₁x₂=$\frac{-1-^{2}}{a-1}$，
又y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b），
由$\overrightarrow{OP}$$⊥\overrightarrow{OQ}$，∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=2•$\frac{-1-^{2}}{a-1}$+2b²•$\frac{1}{a-1}$+b²=0，
即為-2-4+4+2（a-1）=0，解得a=2，
即有雙曲線的方程為2x²-y²=1．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，屬于中檔題．