Question

11．在區(qū)間[1，5]和[2，4]分別取一個(gè)數(shù)，記為a，b，則方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$表示離心率大于$\sqrt{5}$的雙曲線(xiàn)的概率為$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 當(dāng)方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$表示離心率大于$\sqrt{5}$的雙曲線(xiàn)，表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率大于$\sqrt{5}$的雙曲線(xiàn)時(shí)，計(jì)算出（a，b）點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平面圖形的面積大小和區(qū)間[1，5]和[2，4]分別各取一個(gè)數(shù)（a，b）點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平面圖形的面積大小，并將他們一齊代入幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$表示離心率大于$\sqrt{5}$的雙曲線(xiàn)，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$＞$\sqrt{5}$，
∴b＞2a，
它對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示：
則方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$表示離心率大于$\sqrt{5}$的雙曲線(xiàn)的概率為：
P=$\frac{{S}_{陰影}}{{S}_{矩形}}$=$\frac{\frac{1}{2}×2×1}{2×4}$=$\frac{1}{8}$，
故答案為：$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要考查離心率公式的運(yùn)用，同時(shí)考查幾何概型的概率的求法，屬于中檔題．