Question

已知橢圓W中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

3

2

，過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為1．
（1）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓上一動點P（x₀，y₀）關(guān)于直線y=2x的對稱點為P1(x1，

y1

，求3x₁-4y₁的取值范圍．
（3）設(shè)橢圓W的左右頂點分別為A、B，點S是橢圓W上位于x軸上方的動點，直線AS、BS與直線l：x=

10

3

分別交于M、N兩點，求線段MN的長度的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依題意知，e=

3

2

，橢圓的通經(jīng)為1，由此可求出橢圓C的方程．
（2）點P（x₀，y₀）關(guān)于直線y=2x的對稱點為P1(x1，

y1

，由題設(shè)條件能推出3x₁-4y₁=-5x₀．再由點P（x₀，y₀）在橢圓W：

x2

4

+y2=1上，能夠鐵推出3x₁-4y₁的取值范圍．
（3）設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），從而M（

10

3

，

16

3

k）．由題設(shè)條件可以求出N（

10

3

，-

1

3k

），所以|MN|=|

16

3

k+

1

3k

|，再由均值不等式進行求解．

解答： 解：（1）橢圓W中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

3

2

，過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為1．
∴

c

a

=

3

2

，并且

2b2

a

=1，a²=b²+c²，解得a=2，b=1，c=

3

，
∴橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2

4

+y2=1
（2）∵點P（x₀，y₀）關(guān)于直線y=2x的對稱點為P1(x1，

y1

，
∴

y0-y1 x0-x1 ×2=-1 y0+y1 2 =2× x0+x1 2

，解得：x1=

4y0-3x0

5

，y1=

3y0+4x0

5

．
∴3x₁-4y₁=-5x₀．
∵點P（x₀，y₀）在橢圓C：

x2

4

+y2=1上，
∴-2≤x₀≤2，則-10≤-5x₀≤10．
∴3x₁-4y₁的取值范圍為[-10，10]．
（3）直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），
從而M（

10

3

，

16

3

k）．
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
設(shè)S（x₁，y₁），則（-2）•x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，從而y₁=

4k

1+4k2

．
即S（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），又B（2，0）
由

y=- 1 4k ()x-2 x= 10 3

得

x= 10 3 y=- 1 3k

，∴N（

10

3

，-

1

3k

），
故|MN|=|

16k

3

+

1

3k

|，
又k＞0，∴|MN|=

16

3

k+

1

3k

≥2

16k 3 • 1 3k

=

8

3

．當(dāng)且僅當(dāng)

16k

3

=

1

3k

，即k=

1

4

時等號成立
∴k=

1

4

時，線段MN的長度取最小值

8

3

．

點評：本題考查橢圓的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，考查橢圓與直線的位置關(guān)系，解題時要注意公式的靈活運用．