Question

已知

m

=（bsinx，acosx），

n

=（cosx，-cosx），f（x）=

m

•

n

+a，其中a，b，x∈R．且滿足f（

π

6

）=2，f′（0）=2

3

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）-log 

1

3

k=0在區(qū)間[0，

2π

3

]上總有實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用數(shù)量積運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出；
（II）利用兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性有界性、對數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，f(x)=

m

•

n

+a=bsinxcosx-acos2x+a=

a

2

(1-cos2x)+

b

2

sin2x，
由f(

π

6

)=2得a+

3

b=8，
∵f′（x）=asin2x+bcos2x，又f′(0)=2

3

，∴b=2

3

，∴a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1-cos2x+

3

sin2x=2sin(2x-

π

6

)+1，
∵x∈[0，

2π

3

]，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，
∴-1≤2sin(2x-

π

6

)≤2，f（x）∈[0，3]．
又∵f(x)-log

1

3

k=0有解，即f（x）=-log₃k有解，
∴-3≤log₃k≤0，解得

1

27

≤k≤1，
∴實數(shù)k的取值范圍為[

1

27

，1]．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性有界性、對數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．