【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,ADAP=4,ABBC=2,MPC的中點(diǎn)點(diǎn)N在線段AD.

(1)點(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)時(shí),求證:直線PA∥面BMN;

(2)若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,求二面角CBMN所成角θ的余弦值.

【答案】1)詳見解析;(2.

【解析】

(1)連結(jié)點(diǎn),,交于點(diǎn),連結(jié),推導(dǎo)出四邊形為正方形,由此能證明直線平面;(2)分別以,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由此能求出二面角C-BM-N所成角的余弦值.

證明:(1)連結(jié)點(diǎn)AC,BN,交于點(diǎn)E,連結(jié)ME,

∵點(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn),AD=4,

AN=2,∵∠ABC=∠BAD=90°,ABBC=2,

∴四邊形ABCN為正方形,∴EAC的中點(diǎn),

MEPA,

PA平面BMN,∴直線PA∥平面BMN.

(2)∵PA⊥平面ABCD,且AB,AD平面ABCD,

PAABPAAD,

∵∠BAD=90°,∴PA,AB,AD兩兩互相垂直,

分別以AB,ADAPx,yz軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則由ADAP=4,ABBC=2,得:

B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,4),

MPC的中點(diǎn),∴M(1,1,2),

設(shè)ANλ,則N(0,λ,0),(0≤λ≤4),則=(﹣1,λ﹣1,﹣2),

=(0,2,0),=(2,0,﹣4),

設(shè)平面PBC的法向量為=(xy,z),

∵直線MN與平面PBC所成角的正弦值為.

解得λ=1,則N(0,1,0),=(﹣2,1,0),=(﹣1,1,2),

設(shè)平面BMN的法向量=(x,y,z),

=﹣x+y+2z=0,=﹣2x+y=0,

x=2,得=(2,4,﹣1),

cos

∴二面角C-BM-N所成角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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A. B. C. D.

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日期

晝夜溫差

就診人數(shù)(個(gè))

16

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參考公式:

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