Question

10．已知點G是△ABC的重心，且AG⊥BG，若λ=$\frac{si{n}^{2}C}{cosCsinAsinB}$，則實數(shù)λ的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 首先根據(jù)三角形的重心性質(zhì)及直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半，得到CD=$\frac{3}{2}$AB，再應用余弦定理推出AC²+BC²=5AB²，然后運用正弦定理和余弦定理，結合已知條件，即可求出實數(shù)λ的值．

解答 解：如圖，連接CG，延長交AB于D，
由于G為重心，故D為中點，
∵AG⊥BG，∴DG=$\frac{1}{2}$AB，
由重心的性質(zhì)得，CD=3DG，即CD=$\frac{3}{2}$AB，
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC，
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC²+BC²=2AD²+2CD²，
∴AC²+BC²=$\frac{1}{2}$AB²+$\frac{9}{2}$AB²=5AB²，
又∵λ=$\frac{si{n}^{2}C}{cosCsinAsinB}$=$\frac{A{B}^{2}}{BC•AC•cosC}$=$\frac{2A{B}^{2}}{B{C}^{2}+A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\frac{2A{B}^{2}}{4A{B}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查了正弦、余弦定理，三角形的重心性質(zhì)，熟練掌握定理及三角函數(shù)公式是解本題的關鍵．