Question

20．點(diǎn)P（x₀，y₀）是圓C：x²+y²=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與圓C相切
（1）求證：直線l的方程為x₀x+y₀y=1；
（2）若直線l與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，且|PB|，|PA|，|AB|成等比數(shù)列，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用切線與直線l相切，即可證明結(jié)論；
（2）利用同一直線的三條線段|PB|，|PA|，|AB|成等比數(shù)列，可得|PB|，|PA|，|AB|在x軸的射影成等比數(shù)列，即可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 （1）證明：若y₀=0，則l為x=±1，
若x₀=0，則l為y=±1； …（2分）
若x₀y₀≠0，則直線OT的斜率k_OT=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴直線l的斜率k_l=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，故直線l的方程為：y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），
整理得：x₀x+y₀y=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x₀=0或y₀=0，時(shí)，直線l的方程也滿足上式，
故直線l的方程為x₀=0；…（6分）
（2）解：由（1），得A（$\frac{1}{{x}_{0}}$，0），B（0，$\frac{1}{{y}_{0}}$），…（7分）
∵同一直線的三條線段|PB|，|PA|，|AB|成等比數(shù)列，
∴|PB|，|PA|，|AB|在x軸的射影成等比數(shù)列．
不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則（$\frac{1}{{x}_{0}}$-x₀）²=1．…（8分）
∵0＜x₀＜1，∴$\frac{1}{{x}_{0}}$-x₀=1，解得x₀=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$（負(fù)值舍去），…（10分）
將x₀=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$代入x₀²+y₀²=1，得y₀=$\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$（負(fù)值舍去），
即點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$）． …（11分）
由對(duì)稱性，滿足條件的點(diǎn)P有四個(gè)（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$），（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，-$\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$），（-$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$），（-$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，-$\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．