Question

9．砷是廣泛分布于自然界中的非金屬元素，長期飲用高砷水會(huì)直接危害群眾的身心健康和生命安全，而近水農(nóng)村地區(qū)，水質(zhì)情況更需要關(guān)注．為了解甲、乙兩地區(qū)農(nóng)村居民飲用水中砷含量的基本情況，分別在兩地隨機(jī)選取10個(gè)村子，其砷含量的調(diào)查數(shù)據(jù)如下（單位：mg/1000L）：
甲地區(qū)的10個(gè)村子飲用水中砷的含量：
52   32   41   72   43   35   45   61   53   44
乙地區(qū)的10個(gè)村子飲用水中砷的含量：
44   56   38   61   72   57   64   71   58   62
（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成莖葉圖，試比較兩個(gè)地區(qū)中哪個(gè)地區(qū)的飲用水中砷含量更高，并說明理由；
（Ⅱ）國家規(guī)定居民飲用水中砷的含量不得超過50，現(xiàn)醫(yī)療衛(wèi)生組織決定向兩個(gè)地區(qū)中每個(gè)砷超標(biāo)的村子派駐一個(gè)醫(yī)療救助小組．用樣本估計(jì)總體，把頻率作為概率，若從乙地區(qū)隨機(jī)抽取3個(gè)村子，用X表示派駐的醫(yī)療小組數(shù)，試寫出X的分布列并求X的期望．

Answer 1

分析 （I）法1：求出甲地區(qū)調(diào)查數(shù)據(jù)的平均數(shù)為$\overline x$，乙地區(qū)調(diào)查數(shù)據(jù)的平均數(shù)為$\overline y$，推出乙地區(qū)的飲用水中砷含量更高．
法2：利用莖葉圖可直接推出結(jié)果，乙地區(qū)的引用水中砷含量更高．
（II）由題可知若從乙地區(qū)隨即抽取一個(gè)村子，需要派駐醫(yī)療小組的概率：得到X的分布列，求出期望．

解答 解：（I）法1：設(shè)甲地區(qū)調(diào)查數(shù)據(jù)的平均數(shù)為$\overline x$，

$\overline x=\frac{1}{10}（52+32+41+72+43+35+45+61+53+44）=47.8$；
設(shè)乙地區(qū)調(diào)查數(shù)據(jù)的平均數(shù)為$\overline y$，$\overline y=\frac{1}{10}（44+56+38+61+72+57+64+71+58+62）=58.3$．
由以上計(jì)算結(jié)果可得$\overline{x}＜\overline{y}$，因此可以看出乙地區(qū)的飲用水中砷含量更高．
法2：從莖葉圖可以看出，甲地區(qū)的調(diào)查結(jié)果中有80%的葉集中在莖“3”“4”“5”，而乙地區(qū)有80%的葉集中在莖“5”“6”“7”，因此乙地區(qū)的引用水中砷含量更高…（5分）
（II）由題可知若從乙地區(qū)隨即抽取一個(gè)村子，需要派駐醫(yī)療小組的概率：
$\begin{array}{l}P（X=0）=C_3^0•{（\frac{4}{5}）^0}•{（\frac{1}{5}）^3}=\frac{1}{125}，P（X=1）=C_3^1•{（\frac{4}{5}）^1}•{（\frac{1}{5}）^2}=\frac{12}{125}\\ P（X=2）=C_3^2•{（\frac{4}{5}）^2}•{（\frac{1}{5}）^1}=\frac{48}{125}，P（X=3）=C_3^3•{（\frac{4}{5}）^3}•{（\frac{1}{5}）^0}=\frac{64}{125}\end{array}$
X的分布列為…（10分）

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

∵$X～B（3，\frac{4}{5}）∴E（X）=\frac{12}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查莖葉圖以及離散型隨機(jī)變量的分布列期望的求法，考查計(jì)算能力．