Question

16．已知點(diǎn)（2，99）在函數(shù)f（x）=lg（x+b）的反函數(shù)的圖象上．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)（2，99）在函數(shù)f（x）=lg（x+b）的反函數(shù)的圖象上，可得：點(diǎn)（99，2）在函數(shù)f（x）=lg（x+b）的圖象上，代入構(gòu)造關(guān)于b的方程，解得實(shí)數(shù)b的值；
（2）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，則$\left\{\begin{array}{l}1-2x＞-1\\ x＞-1\\ 1＜\frac{2-2x}{x+1}＜10\end{array}\right.$，解得x的取值范圍．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（2，99）在函數(shù)f（x）=lg（x+b）的反函數(shù)的圖象上，
∴點(diǎn)（99，2）在函數(shù)f（x）=lg（x+b）的圖象上，
即lg（99+b）=2，即99+b=100，
解得：b=1；
（2）由（1）得f（x）=lg（x+1），x＞-1，
則0＜f（1-2x）-f（x）＜1可化為：
0＜$lg\frac{2-2x}{x+1}$＜1，
即$\left\{\begin{array}{l}1-2x＞-1\\ x＞-1\\ 1＜\frac{2-2x}{x+1}＜10\end{array}\right.$，
解得：x∈（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
即x的取值范圍為（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查反函數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握住反函數(shù)的定義，由定義求出反函數(shù)的解析式，本題有一易漏點(diǎn)，即忘記求出函數(shù)的定義域，對(duì)于求函數(shù)的解析式的題，一般要求出函數(shù)的定義域．