對(duì)某校高三學(xué)生一個(gè)月內(nèi)參加體育活動(dòng)的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加體育活動(dòng)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)做出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:
分組頻數(shù)頻率
[10,15)100.25
[15,20)24n
[20,25)mp
[25,30]20.05
合計(jì)M1
(Ⅰ)求出表中M,p及圖中a的值;
(Ⅱ)若該校高三學(xué)生有240人,試估計(jì)該校高三學(xué)生在一個(gè)月內(nèi)參加體育活動(dòng)的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內(nèi)的人數(shù);
(Ⅲ)在所取的樣本中,從參加體育活動(dòng)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任取4人,記此4人中參加體育活動(dòng)不少于25次的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
考點(diǎn):離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖
專題:綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)
分析:(Ⅰ)由分組[10,15)內(nèi)的頻數(shù)是10,頻率是0.25,可求M,頻數(shù)之和為40,可求m,從而求出p,利用a是對(duì)應(yīng)分組[15,20)的頻率與組距的商,求出a的值;
(Ⅱ)利用該校高三學(xué)生有240人,分組[10,15)內(nèi)的頻率是0.25,可估計(jì)該校高三學(xué)生在一個(gè)月內(nèi)參加體育活動(dòng)的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內(nèi)的人數(shù);
(Ⅲ)根據(jù)題意ξ可能取值為0,1,2,求出相應(yīng)的概率,可得隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解答: 解:(I)由分組[10,15)內(nèi)的頻數(shù)是10,頻率是0.25,
10
M
=0.25
,∴M=40.…(1分)
∵頻數(shù)之和為40,∴10+24+m+2=40,∴m=4,…(2分)
∴p=0.4,…(3分)
∵a是對(duì)應(yīng)分組[15,20)的頻率與組距的商,∴a=
24
40×5
=0.12
.…(4分)
(II)∵該校高三學(xué)生有240人,分組[10,15)內(nèi)的頻率是0.25,
∴估計(jì)該校高三學(xué)生在一個(gè)月內(nèi)參加體育活動(dòng)的次數(shù)在此區(qū)間的人數(shù)為240×0.25=60.…(6分)
(III)根據(jù)題意ξ可能取值為0,1,2.…(7分)
P(ξ=0)=
C
4
4
C
4
6
=
1
15
,P(ξ=1)=
C
3
4
C
1
2
C
4
6
=
8
15
P(ξ=2)=
C
2
4
C
2
2
C
4
6
=
6
15
=
2
5
,
∴ξ的分布列為
ξ012
P
1
15
8
15
2
5
…(10分)
Eξ=0×
1
15
+1×
8
15
+2×
6
15
=
4
3
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題以頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖為載體,考查隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,確定變量的取值,求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵.
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(x3+
1
x2
10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是( 。
A、
C
5
10
B、
C
6
10
C、
C
9
10
D、
C
10
10

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且
AB
2=
AB
AC
+
BA
BC
+
CA
CB

(1)判斷△ABC的形狀,并求sinA+sinB的取值范圍.
(2)如圖,三角形ABC的頂點(diǎn)A、C分別在l1、l2上運(yùn)動(dòng),AC=2,BC=1,若直線l1⊥直線l2 ,且相交于點(diǎn)O,求O,B間距離的取值范圍.

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已知tanα=-2,求4sin2α+3cos2α的值.

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已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a-b≠0時(shí),有
f(a)-f(b)
a-b
>0成立.
(1)判斷f(x)在[-1,1]上的單調(diào)性,并證明;
(2)解不等式:f(x+
1
2
)<f(
1
x-1
).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知tanα=3,求下列各式的值.
(1)
670sinα+4cosα
2sinα-5cosα
;       
(2)
1
2sin2α-8cos2α

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l經(jīng)過兩點(diǎn)(1,-2),(3,2),設(shè)圓C的半徑為1,圓心在直線l上.
(Ⅰ)求直線l的方程;
(Ⅱ)若圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為
3
,求圓C的方程;
(Ⅲ)若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C過點(diǎn)A(0,-2),B(3,1),且圓心C在直線x+2y+1=0上.
(Ⅰ)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)直線l過點(diǎn)P(2,0),且與圓C交于M,N兩點(diǎn),若|MN|=4
2
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

方程
(x-2)2+y2
+
(x+2)2+y2
=10,化簡(jiǎn)的結(jié)果是
 

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