Question

已知圓C過(guò)點(diǎn)A（0，-2），B（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．
（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l過(guò)點(diǎn)P（2，0），且與圓C交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|=4

2

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)圓心C（-2b-1，b），再根據(jù)圓C過(guò)點(diǎn)A（0，-2），B（3，1），可得 （-2b-1-0）²+（b+2）²=（-2b-1-3）²+（b-1）²=r²，r為半徑．解得b的值，可得圓心C和半徑r，從而求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由題意根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得弦心距d=1．分直線的斜率不存在、存在兩種情況，分別根據(jù)弦心距d=

|k+2|

k2+1

=1，求得直線的方程．

解答： 解：（1）∵圓心C在直線x+2y+1=0上，故設(shè)圓心C（-2b-1，b），再根據(jù)圓C過(guò)點(diǎn)A（0，-2），B（3，1），
可得 （-2b-1-0）²+（b+2）²=（-2b-1-3）²+（b-1）²=r²，r為半徑．
解得b=-2，可得圓心C（3，-2），r=3，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （x-3）²+（y+2）²=9．
（Ⅱ）直線l過(guò)點(diǎn)P（2，0），且與圓C交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|=4

2

，則弦心距d=1．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x=2，滿足弦心距d=1．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y-0=k（x-2），根據(jù)弦心距d=

|k+2|

k2+1

=1，求得k=-

3

4

．
此時(shí)，直線的方程為3x+4y-6=0．
綜上可得，所求的直線的方程為 x=2，或3x+4y-6=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．