Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，點D在棱BB₁上，若BD=3，則AD與平面AA₁C₁C所成角的正切值為（　�。�

• A、

  2 3

  5

• B、

  2 39

  13

• C、

  5

  4

• D、

  4

  3

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：根據題意畫出圖形，過B作BF⊥AC，過B₁作B₁E⊥A₁C₁，連接EF，過D作DG⊥EF，連接AG，證明DG⊥面AA₁C₁C，∠DAG=α，解直角三角形ADG即可．

解答： 解：如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，點D在棱BB₁上，若BD=3，
過B作BF⊥AC，過B₁作B₁E⊥A₁C₁，連接EF，過D作DG⊥EF，連接AG，
在正三棱柱中，有B₁E⊥面AA₁C₁C，BF⊥面AA₁C₁C，
故DG⊥面AA₁C₁C，
∴∠DAG=α，可求得DG=BF=2

3

，
AG=

AF2+FG2

=

4+9

=

13

，
故tanα=

DG

AG

=

2 3

13

=

2 39

13

．
故選：B．

點評：考查直線和平面所成的角，關鍵是找到斜線在平面內的射影，把空間角轉化為平面角求解，屬中檔題．