Question

某調(diào)酒師把濃度分別為a和b（a＞b）的兩瓶均為300毫升的酒（分別記為A瓶液體、B瓶液體）進(jìn)行混合．先把100毫升的A瓶液體倒入B瓶進(jìn)行充分混合，然后再把100毫升的B瓶液體倒入A瓶進(jìn)行充分混合，這樣稱(chēng)為一次操作，依此類(lèi)推．
（Ⅰ）設(shè)經(jīng)過(guò)n次操作后，A瓶液體與B瓶液體的濃度之差為c_n，試寫(xiě)出c₁，c₂及數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）當(dāng)a=70%，b=10%時(shí)，需經(jīng)過(guò)多少次操作后才能使兩瓶酒的濃度之差小于1%？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）確定b_n+1=

100an+300bn

400

=

1

4

a_n+

3

4

b_n，a_n+1=

100bn+1+200an

300

=

1

3

b_n+1+

2

3

a_n，可得：a_n+1-b_n+1=

1

2

（a_n-b_n），即可寫(xiě)出c₁，c₂及數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）當(dāng)a=70%，b=10%時(shí)，有（0.7-0.1）×

1

2n

＜0.01，由此可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)a_n，b_n分別為A瓶液體、B瓶液體經(jīng)過(guò)n次操作后的濃度．則a₀=a，b₀=b，
且b_n+1=

100an+300bn

400

=

1

4

a_n+

3

4

b_n，a_n+1=

100bn+1+200an

300

=

1

3

b_n+1+

2

3

a_n．（*）
由（*）可得：a_n+1-b_n+1=

1

2

（a_n-b_n），
即c_n+1=

1

2

c_n，
∴數(shù)列{c_n}是以a-b為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴c_n=（a-b）×

1

2n

．其中c₁=

1

2

（a-b），c₂=

1

4

（a-b）.9分
（Ⅱ） 設(shè)經(jīng)過(guò)n次操作后才能使兩瓶酒的濃度之差小于1%，則
當(dāng)a=70%，b=10%時(shí)，有（0.7-0.1）×

1

2n

＜0.01，∴n＞5
即經(jīng)過(guò)6次操作后才能使兩瓶酒的濃度之差小于1%.13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，確定數(shù)列模型是關(guān)鍵．