【題目】已知函數(shù)在處取得極值.
Ⅰ求實數(shù)a的值;
Ⅱ若關于x的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)b的取值范圍;
Ⅲ證明:參考數(shù)據(jù):.
【答案】(1)0;(2);(3)見解析
【解析】
(1)求導,由f′(1)=0構造方程求出a;(2)由(1)將方程f(x)+2x=x2+b化簡,令g(x)=x2-3x+lnx+b(x>0),求導,研究當x變化時,g′(x),g(x)的變化情況,確定函數(shù)的最值,從而建立不等式組,即可求得結論;(3)設φ(x)=lnx-(x2-1),求導,根據(jù)函數(shù)的單調性得當x≥2時,>2,從而累加可得結論.
(1)f′(x)=1-,∵x=1是f(x)的一個極值點,∴f′(1)=0,即1-=0,∴a=0.
經(jīng)檢驗滿足題意.
(2)由(1)得f(x)=x-lnx,∴f(x)+2x=x2+b即x-lnx+2x=x2+b,∴x2-3x+lnx+b=0,
設g(x)=x2-3x+lnx+b(x>0),
則g′(x)=2x-3+=
=.
由g′(x)>0得0<x<或x>1,由g′(x)<0得<x<1,
∴當x∈,(1,+∞)時,函數(shù)g(x)單調遞增,x∈時,函數(shù)g(x)單調遞減,
當x=1時,g(x)極小值=g(1)=b-2,g=b--ln2,g(2)=b-2+ln2,
∵方程f(x)+2x=x2+b在上恰有兩個不相等的實數(shù)根,
∴即解得+ln2≤b<2.
(3)證明:∵k-f(k)=lnk,∴>.
+++…+> (n∈N,n≥2)
設φ(x)=lnx- (x2-1),則φ′(x)=-==-
當x≥2時,φ′(x)<0,∴函數(shù)y=φ(x)在[2,+∞)上是減函數(shù),
∴φ(x)≤φ(2)=ln2-<0,∴l(xiāng)nx< (x2-1).
∴當x≥2時, >=
=2,
∴+++…+>2
=2=.
∴原不等式成立.
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【題目】某地區(qū)上年度電價為0.8元,年用電量為,本年度計劃將電價降到0.55 元至0.75元之間,而用戶期待電價為0.4元,下調電價后新增加的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數(shù)為K),該地區(qū)的電力成本為0.3元.(注:收益=實際用電量(實際電價-成本價)),示例:若實際電價為0.6元,則下調電價后新增加的用電量為元)
(1)寫出本年度電價下調后,電力部門的收益與實際電價的函數(shù)關系;
(2)設,當電價最低為多少仍可保證電力部門的收益比上一年至少增長?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù).
(1)若的定義域為,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當時,求函數(shù)的最小值;
(3)是否存在非負實數(shù),使得函數(shù)的定義域為,值域為,若存在,求出的值;若不存在,則說明理由.
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【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)設點,直線與曲線交于兩點,求的值.
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【題目】已知集合A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a},U=R.
(1)求A∪B,(CUA)∩B;
(2)若A∩C≠,求a的取值范圍.
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【題目】2018年2月22日上午,山東省省委、省政府在濟南召開山東省全面展開新舊動能轉換重大工程動員大會,會議動員各方力量,迅速全面展開新舊動能轉換重大工程.某企業(yè)響應號召,對現(xiàn)有設備進行改造,為了分析設備改造前后的效果,現(xiàn)從設備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項質量指標值,若該項質量指標值落在內的產(chǎn)品視為合格品,否則為不合格品.圖3是設備改造前的樣本的頻率分布直方圖,表1是設備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.
表1:設備改造后樣本的頻數(shù)分布表
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質量指標值與設備改造有關;
(2)根據(jù)圖3和表1提供的數(shù)據(jù),試從產(chǎn)品合格率的角度對改造前后設備的優(yōu)劣進行比較;
(3)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,根據(jù)客戶需求對合格品進行等級細分,質量指標值落在內的定為一等品,每件售價240元;質量指標值落在或內的定為二等品,每件售價180元;其它的合格品定為三等品,每件售價120元.根據(jù)表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應等級產(chǎn)品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品,設其支付的費用為(單位:元),求的分布列和數(shù)學期望.
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】下列說法中,正確的個數(shù)是( )
①A=的子集有個;
②命題“”的否定是“使得”;
③“”是“函數(shù)取得最大值”的充分不必要條件;
④根據(jù)對數(shù)定義,對數(shù)式化為指數(shù)式;
⑤若,則的取值范圍為;
⑥.
A.個B.個C.個D.個
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的上頂點為,右焦點為,直線與圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)若不過點的動直線與橢圓交于兩點,且,試探究:直線是否過定點,若是,求該定點的坐標,若不是,請說明.
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