Question

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，且

3

c=2bsinC
（Ⅰ）試確定角B的大��；
（Ⅱ）若△ABC為銳角三角形，b=

3

，求a+c的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專(zhuān)題：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)sinC不為0求出sinB的值，即可確定出角B的大小；
（Ⅱ）由b，cosB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，整理后利用基本不等式即可求出a+c的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）將

3

c=2bsinC，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：

3

sinC=2sinBsinC，
∵sinC≠0，
∴sinB=

3

2

，
∵0＜B＜π，
∴B=

π

3

或

2π

3

；
（Ⅱ）∵b=

3

，B=

π

3

，
∴由余弦定理得：a²+c²-2accos

π

3

=3，即a²+c²=3+ac，
整理得：a²+c²+2ac=3+3ac，即（a+c）²≤3+3×（

a+c

2

）²（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)），
∴（a+c）²≤12，
解得：0＜a+c≤2

3

，
則a+c的最大值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，以及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．