Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-m|（m為常數(shù)），對任意的x∈R，f（x+3）=f（-x）恒成立．
有下列四種說法：
①m=3；     ②f（x）是偶函數(shù)；
③若函數(shù)g（x）=f（x）+|2x-b|（b為常數(shù)）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則b=1；
④已知定義在R上的函數(shù)h（x）對任意x均有h（x）=h（-x）成立，且當(dāng)x∈[0，3]時，h（x）=f（x）；又函數(shù)φ（x）=-x²+c（c為常數(shù)），若存在x₁，x₂∈[-1，3]使得|h（x₁）-φ（x₂）|＜1成立，則c的取值范圍是（-1，13），其中說法正確的

 

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Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①對任意的x∈R，f（x+3）=f（-x）恒成立?|2x+6-m|=|2x+m|?6-m=m，解得即可．
②由①可知：f（x）=|2x-3|，判定其圖象是否關(guān)于y軸對稱即可；
③由函數(shù)g（x）=f（x）+|2x-b|（b為常數(shù)）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，可得g（2-x）=g（x）解出即可；
④當(dāng)x∈[0，3]時，h（x）=f（x）=|2x-3|，可得h（x）取值范圍；再利用h（x）是偶函數(shù)．可得當(dāng)x∈[-1，0）時，h（x）=h（-x）=|2x+3|，可得h（x）的取值范圍．可得x∈[-1，3]時，h（x）的值域．
由函數(shù)φ（x）=-x²+c，x∈[-1，3]，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得φ（x）_max，φ（x）_min．存在x₁，x₂∈[-1，3]使得|h（x₁）-φ（x₂）|＜1成立，只要|h（x）_min-φ（x）_max|＜1，且|h（x）_max-φ（x）_min|＜1．解出即可．

解答： 解：①對任意的x∈R，f（x+3）=f（-x）恒成立?|2x+6-m|=|2x+m|?6-m=m，解得m=3，因此①正確．
②由①可知：f（x）=|2x-3|，其圖象關(guān)于直線x=

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對稱，而關(guān)于y軸不對稱，因此不是偶函數(shù)；
③∵函數(shù)g（x）=f（x）+|2x-b|（b為常數(shù)）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴g（2-x）=g（x），∴|2（2-x）-3|+|2（2-x）-b|=|2x-3|+|2x-b|，對于任意實數(shù)恒成立．
化為|2x-1|+|2x-（4-b）|=|2x-3|+|2x-b|，對于任意實數(shù)恒成立，∴4-b=3，b=1，因此正確；
④當(dāng)x∈[0，3]時，h（x）=f（x）=|2x-3|，可得h（x）∈[0，3]；
∵定義在R上的函數(shù)h（x）對任意x均有h（x）=h（-x）成立，∴h（x）是偶函數(shù)．
∴當(dāng)x∈[-1，0）時，h（x）=h（-x）=|-2x-3|=|2x+3|，可得h（x）∈[1，3）．
綜上可得：x∈[-1，3]時，h（x）∈[0，3]．
由函數(shù)φ（x）=-x²+c，x∈[-1，3]，可得φ（x）_max=c，φ（x）_min=c-9．
∵存在x₁，x₂∈[-1，3]使得|h（x₁）-φ（x₂）|＜1成立，
∴只要|h（x）_min-φ（x）_max|=0-c＜1，且|h（x）_max-φ（x）_min|=c-9-3＜1．
解得-1＜c且c＜13，因此c∈（-1，13）．因此正確．
綜上可知：只有①③④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了分類討論和數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于難題．