Question

12．若雙曲線的頂點為橢圓x²+$\frac{y^2}{2}$=1長軸的端點，且雙曲線的離心率與該橢圓的離心率的積為1，則雙曲線的方程是$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓方程求得其長軸的端點坐標和離心率，進而可得雙曲線的頂點和離心率，求得雙曲線的實半軸和虛半軸的長，進而可得雙曲線的方程．

解答 解：由題意設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，離心率為e
橢圓x²+$\frac{y^2}{2}$=1長軸的端點是（0，$\sqrt{2}$），∴a=$\sqrt{2}$．
∵橢圓x²+$\frac{y^2}{2}$=1的離心率為$\frac{1}{\sqrt{2}}$
∴雙曲線的離心率e=$\sqrt{2}$，⇒c=2，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線的方程是$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$．
故答案為：$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$．

點評 本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)和橢圓的標準方程．要記住雙曲線和橢圓的定義和性質(zhì)．