Question

4．已知函數(shù)f（x）=log₂（$\frac{x+b}{x-b}$），（b≠0）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）解關(guān)于x的不等式f（x）≥1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，構(gòu)造不等式，對(duì)b值分類討論，可得不同情況下函數(shù)的定義域；
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義，可判斷出函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
（3）若f（x）≥1，則$\frac{x+b}{x-b}$≥2，對(duì)b值分類討論，可得不同情況下不等式的解集．

解答 解：（1）當(dāng)b＜0時(shí)，由$\frac{x+b}{x-b}$＞0得：x∈（-∞，b）∪（-b，+∞），故此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋海?∞，b）∪（-b，+∞），
當(dāng)b＞0時(shí)，由$\frac{x+b}{x-b}$＞0得：x∈（-∞，-b）∪（b，+∞），故此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)椋海?∞，-b）∪（b，+∞），
（2）由（1）得函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又由f（-x）=log₂（$\frac{-x+b}{-x-b}$）=log₂（$\frac{x-b}{x+b}$）=-log₂（$\frac{x+b}{x-b}$）=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
（3）若f（x）≥1，則$\frac{x+b}{x-b}$≥2，
即$\frac{-x+3b}{x-b}$≥0，
當(dāng)b＜0時(shí)，不等式的解集為[3b，b），
當(dāng)b＞0時(shí)，不等式的解集為（b，3b]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．