【題目】如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，底面，，，E為棱的中點(diǎn)，F為棱上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若銳二面角的正弦值為，求點(diǎn)F的位置.

【答案】（1）證明見解析（2）點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)

【解析】

(1)證明,即可.

(2) 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),進(jìn)而利用空間向量求解銳二面角的正弦值關(guān)于的表達(dá)式,進(jìn)而求得即可判斷.

（1）如下圖所示,由于四邊形是菱形,則,

又∵,∴是等邊三角形,∵E為的中點(diǎn),∴,

∵,∴.

∵底面,平面,∴,

∵,平面,

∴平面；

（2）由（1）知,,且底面,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由則點(diǎn),,

設(shè),

則,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

由,即,取,則,,則平面的一個(gè)法向量為,

同理可得平面的一個(gè)法向量為,

∵二面角的正弦值為

∴,解得.

因此,當(dāng)點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)時(shí),二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)是反映一個(gè)國(guó)家科學(xué)技術(shù)和創(chuàng)新競(jìng)爭(zhēng)力的綜合指數(shù)．對(duì)國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分排名前40的國(guó)家的有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集．整理、描述和分析．下面給出了部分信息：

a．國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分的頻率分布直方圖（數(shù)據(jù)分成7組：，，，，，，）；

b．國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分在這一組的是：61.7，62.4，63.6，65.9，66.4，68.5，69.1，69.3，69.5．

c．40個(gè)國(guó)家的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（萬(wàn)美元）和國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分情況統(tǒng)計(jì)圖：

d．中國(guó)的國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分為69.5，人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值9960美元．

（以上數(shù)據(jù)來源于《國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)報(bào)告（2018）》）

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）中國(guó)的國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分排名世界第幾？

（2）是否有99.9%的把握認(rèn)為“人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值影響國(guó)家創(chuàng)新指數(shù)得分”？

（3）用（1）（2）得到的結(jié)論，結(jié)合所學(xué)知識(shí)．合理解釋d中客觀存在的數(shù)據(jù)．

附：．

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)且 ）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為： ，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求與的交點(diǎn)到極點(diǎn)的距離；

（2）設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，當(dāng)在上變化時(shí)，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：過點(diǎn)，且它的焦距是短軸長(zhǎng)的倍.

（1）求橢圓的方程.

（2）若，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（，兩點(diǎn)不關(guān)于軸對(duì)稱），為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的斜率分別為，，問是否存在非零常數(shù)，使當(dāng)時(shí)，的面積為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，是⊙的直徑，是⊙的切線，交⊙于E，過E的切線與交于D.

（I）求證：；

（II）若，，求的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題中：①若“”是“”的充要條件；

②若“，”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；

③已知平面、、，直線、，若，，，，則；

④函數(shù)的所有零點(diǎn)存在區(qū)間是.

其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2－ax－alnx(a∈R)．

(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處取得極值，求a的值；

(2)在(1)的條件下，求證：f(x)≥－＋－4x＋.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某人某天的工作是：駕車從地出發(fā)，到兩地辦事，最后返回地，三地之間各路段行駛時(shí)間及當(dāng)天降水概率如下表：

路段

正常行駛所需時(shí)間（小時(shí)）

上午降水概率

下午降水概率

2

0.3

0.6

2

0.2

0.7

3

0.3

0.9

若在某路段遇到降水，則在該路段行駛的時(shí)間需延長(zhǎng)1小時(shí).

現(xiàn)有如下兩個(gè)方案：

方案甲：上午從地出發(fā)到地辦事，然后到達(dá)地， 下午在地辦事后返回地；

方案乙：上午從地出發(fā)到地辦事，下午從地出發(fā)到達(dá)地，辦事后返回地.設(shè)此人8點(diǎn)從地出發(fā)，在各地辦事及午餐的累積時(shí)間為2小時(shí).

現(xiàn)采用隨機(jī)數(shù)表法獲取隨機(jī)數(shù)并進(jìn)行隨機(jī)模擬試驗(yàn)，按照以下隨機(jī)數(shù)表，以方框內(nèi)的數(shù)字5為起點(diǎn)，從左向右依次讀取數(shù)據(jù)，若到達(dá)某行最后一個(gè)數(shù)字，則從下一行最左側(cè)數(shù)字繼續(xù)讀取，每次讀取4位隨機(jī)數(shù)，第1位數(shù)表示采取的方案，其中0-4表示采用方案甲，5-9表示采用方案乙；第2-4位依次分別表示當(dāng)天行駛的三個(gè)路段上是否降水，若某路段降水概率為，則表示降水，表示不降水.（符號(hào)表示的數(shù)集包含）

05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74

07 97 10 88 23099842 99 64 61 71 6299 15 061 29 169358 05 77 05 91

51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48

26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94

14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43

（1）利用數(shù)據(jù)“5129”模擬當(dāng)天的情況，試推算他當(dāng)日辦完事返回地的時(shí)間；

（2）利用隨機(jī)數(shù)表依次取出采用甲、乙方案的模擬結(jié)果各兩組，分別計(jì)算甲、乙兩個(gè)方案的平均時(shí)間，并回答哪個(gè)方案辦完事后能盡早返回地.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，，.

（1）證明：；

（2）若，在線段上是否存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

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