Question

已知P為拋物線y²=2x上的點，及點A（3，2）
（1）求|PA|+|PF|的最小值；
（2）求點P到B（-

1

2

，1）的距離與P到直線x=-

1

2

的距離之和的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)點P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|進而把問題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PD|取得最小，進而可推斷出當(dāng)D，P，A三點共線時|PA|+|PD|最小，答案可得；
（2）根據(jù)拋物線的定義，拋物線上一點到準(zhǔn)線的距離等于到焦點的距離，問題可轉(zhuǎn)化為求點P到B（-

1

2

，1）的距離與點P到F的距離之和的最小值．

解答： 解：（1）設(shè)點P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|
∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小
當(dāng)D，P，A三點共線時|PA|+|PD|最小，為3+

1

2

=

7

2

；
（2）設(shè)拋物線的焦點為F，B（-

1

2

，1），根據(jù)拋物線的定義，拋物線上一點到準(zhǔn)線的距離等于到焦點的距離，問題可轉(zhuǎn)化為求點P到B（-

1

2

，1）的距離與點P到F的距離之和的最小值
連接F、B兩點，兩點之間線段最短有|FB|≤|MB|+|BF|，M為BF與拋物線的交點，
∴點P到B（-

1

2

，1）的距離與P到直線x=-

1

2

的距離之和的最小值為|FB|=

2

．

點評：本題考查拋物線的定義，考查不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．