Question

已知函數(shù)f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點處有相同的切線，求a的值和該切線方程．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出交點，再根據(jù)切線相等求出a，最后由直線上一點及斜率求出直線方程即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．
∴f′（x）=

1

2 x

，g′（x）=

a

x

（x＞0），
由已知曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在交點處有相同的切線，
故有

x

=alnx且

1

2 x

=

a

x

，
解得a=

e

2

，x=e²，
∵兩條曲線交點的坐標(biāo)為（e²，e）切線的斜率為k=f′（e²）=

1

2e

，
∴切線的方程為y-e=

1

2e

（x-e²）．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．