甲、乙兩人用農(nóng)藥治蟲,由于計算錯誤,在A、B兩個噴霧器中分別配制
成12%和6%的藥水各10千克,實際要求兩個噴霧器中的農(nóng)藥的濃度是一樣的,現(xiàn)在只有兩個容量為1千
克的藥瓶,他們從A、B兩個噴霧器中分別取1千克的藥水,將A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A
中,這樣操作進(jìn)行了n次后,A噴霧器中藥水的濃度為,B噴霧器中藥水的濃度為.
(1)證明:是一個常數(shù);
(2)求與的關(guān)系式;
(3)求的表達(dá)式.
(1)18;(2);(3) .
解析試題分析:(1)利用n次操作后A和B的農(nóng)藥的和應(yīng)與開始時農(nóng)藥的重量和相等建立等量關(guān)系,證明是一個常數(shù);(2)借助第一問的結(jié)論和第n次后A中10千克的藥水中農(nóng)藥的重量具有關(guān)系式,求解與的關(guān)系式;(3)根據(jù)第二問的遞推關(guān)系,采用構(gòu)造數(shù)列的思想進(jìn)行求解.
試題解析:(1)開始時,A中含有10=1.2千克的農(nóng)藥,B中含有10=0.6千克的農(nóng)藥,,A中含有千克的農(nóng)藥,B中含有千克的農(nóng)藥,它們的和應(yīng)與開始時農(nóng)藥的重量和相等,從而
(常數(shù)). 4分
(2)第n次操作后,A中10千克的藥水中農(nóng)藥的重量具有關(guān)系式:由(1)知,代入化簡得 ① 8分
(3)令,利用待定系數(shù)法可求出λ=—9,所以,可知數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列.
由①,,
由等比數(shù)列的通項公式知:,
所以. 12分
考點:1.數(shù)列的遞推式;(2)數(shù)列的通項公式;(3)實際應(yīng)用問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
數(shù)列的前項和為,若,點在直線上.
⑴求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
⑵若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和;
⑶設(shè),求證:.
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已知數(shù)列中,,前和
(Ⅰ)求證:數(shù)列是等差數(shù)列; (Ⅱ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列的前項和為,是否存在實數(shù),使得對一切正整數(shù)都成立?若存在,求的最小值,若不存在,試說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}的前n項和Sn滿足且
(Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式:
(Ⅱ)設(shè)Tn為數(shù)列{Sn}的前n項和,求Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列滿足:點均在直線上.
(I)證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式;
(II)若,求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知首項為的等比數(shù)列的前n項和為, 且成等差數(shù)列.
(Ⅰ) 求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ) 證明.
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