Question

13．已知二次方程（t²-1）x²-6（3t-1）x+72=0，根據(jù)下列條件，分別求出t的范圍：
（1）兩個(gè)根都大于零；
（2）兩個(gè)根都小于零；
（3）一根大于零，一根小于零．

Answer 1

分析 利用二次函數(shù)的圖象的特征列出不等式組，直接求解（1）兩個(gè)根都大于零；（2）兩個(gè)根都小于零；（3）一根大于零，一根小于零t的范圍．

解答 解：二次方程（t²-1）x²-6（3t-1）x+72=0，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為：y=（t²-1）x²-6（3t-1）x+72，
可知t≠±1，函數(shù)恒過（0，72）．
（1）兩個(gè)根都大于零；可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{9t-3}{{t}^{2}-1}＞0\\ 36（{3t-1）}^{2}-4×72（{t}^{2}-1）＞0\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}t＜-1或\frac{1}{3}＜t＜1\\ t≠3\end{array}\right.$，
可得$t＜-1或\frac{1}{3}＜t＜1$．

（2）兩個(gè)根都小于零；可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{9t-3}{{t}^{2}-1}＜0\\ 36{（3t-1）}^{2}-4×72（{t}^{2}-1）＞0\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}t＞1或-1＜t＜\frac{1}{3}\\ t≠3\end{array}\right.$，
可得$-1＜t＜\frac{1}{3}或1＜t＜3或t＞3$．
（3）一根大于零，一根小于零．可得：t²-1＜0，解得-1＜t＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的跟的關(guān)系，考查計(jì)算能力．