定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期4,且x∈(0,2)時,f(x)=
3x9x+1

(1)求f(x)在[-2,2]上的解析式;
(2)判斷f(x)在(0,2)上的單調(diào)性,并給予證明;
(3)當(dāng)λ為何值時,關(guān)于方程f(x)=λ在[-2,2]上有實數(shù)解?
分析:(1)可設(shè)x∈(-2,0),則-x∈(0,2)由x∈(0,2)時,f(x)=
3x
9x+1
=
1
3x+
1
3x
可求f(-x),再由奇函數(shù)的性質(zhì)可求
(2)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可
(3)轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)f(x)在(-2,2)上的值域,結(jié)合(2)可先求f(x)在(0,2)上的值域,然后結(jié)合奇函數(shù)的對稱性可求在(-2,0)上的值域
解答:解:(1)設(shè)x∈(-2,0),則-x∈(0,2)
∵x∈(0,2)時,f(x)=
3x
9x+1
=
1
3x+
1
3x

f(-x)=
1
3x+
1
3x

由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)可得,f(-x)=-f(x)
f(x)=-
1
3x+
1
3x

∵f(0)=0,
∵周期為4且為奇函數(shù),f(-2)=-f(2)=f(2)
∴f(-2)=f(2)=0
f(x)=
1
3x+3-x
,x∈(0,2)
0,x=0,±2
-1
3x+3-x
,x∈(-2,0)

(2)設(shè)0<x1<x2<2
g(x)=3x+
1
3x

g(x1)-g(x2)=3x1+
1
3x1
-3x2-
1
3x2
=(3x1-3x2)+
3x2-3x1
3x13x2

=(3x1-3x2)(1-
1
3x13x2
)

∵0<x1<x2<2
∴g(x1)<g(x2
∴函數(shù)g(x)在(0,2)單調(diào)遞增,且g(x)>0
∴f(x)在(0,2)單調(diào)遞減
(3)由(2)可得當(dāng)0<x<2時,f(x)=
1
3x+3-x
單調(diào)遞減
9
82
<f(x)<
1
2

由奇函數(shù)的對稱性可得,x∈(-2,0)時,-
1
2
<f(x)<-
9
82

當(dāng)x=0時,f(0)=0
∵關(guān)于方程f(x)=λ在[-2,2]上有實數(shù)解
9
82
<λ<
1
2
或-
1
2
<λ<-
9
82
或λ =0
點評:本題主要考查了利用函數(shù)的奇函數(shù)的 性質(zhì)求解函數(shù)的解析式,及利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷函數(shù)單調(diào)性的問題,還考查了方程與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用,屬于綜合試題
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