Question

【題目】如圖所示，橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且在拋物線的準(zhǔn)線上，點(diǎn)是橢圓E上的一個動點(diǎn)， 面積的最大值為.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）過焦點(diǎn)作兩條平行直線分別交橢圓E于四個點(diǎn).

①試判斷四邊形能否是菱形，并說明理由；

②求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(i) 不能為菱形；（ii）當(dāng)時(shí)， 取最大值6.

【解析】試題分析：（Ⅰ）待定系數(shù)法，利用焦點(diǎn)在已知拋物線的準(zhǔn)線上，可得值，再由點(diǎn)在短軸頂點(diǎn)時(shí)面積的最大，可得，由關(guān)系得，可求得標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）易判斷函數(shù)不可能平行于軸，為計(jì)算方便可令方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得兩點(diǎn)縱坐標(biāo)間的關(guān)系，①四邊形為菱形，對角線互相垂直，則，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，無線，可證四邊形不是菱形．②同樣利用坐標(biāo)和面積公式，用表示出四邊形的面積．再利用函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值．

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，

當(dāng)點(diǎn)在短軸頂點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)

橢圓方程為

（Ⅱ）(i)由（I）知（-1，0）

直線不能平行于軸，所以設(shè)直線的方程為

設(shè)

由 得

連結(jié)，若為菱形，則，即

又

顯然方程無解，

所以不能為菱形.

（ii）易知四邊形為平行四邊形，則，

而

又因?yàn)?/span>，

設(shè)，則

在上是增函數(shù)，

所以，當(dāng)時(shí)， 取最大值6，此時(shí)即