Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a，b∈R，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)滿足|OP|=3a，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等比數(shù)列，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{21}}{3}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{7}}{3}$
• D． $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 通過(guò)等比數(shù)列、雙曲線的定義，結(jié)合平行四邊形四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和，即可求出離心率．

解答 解：由題意，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比數(shù)列可知，|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，
即4c²=|PF₁||PF₂|，
由雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a，即|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=4a²，
可得|PF₁|²+|PF₂|²=8c²+4a²…①
因?yàn)閨OP|=3a，
所以2（|PF₁|²+|PF₂|²）=4c²+4（3a）²，
所以2（8c²+4a²）=4c²+4（3a）²，
所以7a²=3c²，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義，以及等比數(shù)列的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是有難度的綜合問(wèn)題．