Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在（是自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線與圓在點處的切線平行.

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）易知圓在點處的切線方程為，知在處的導數(shù)為2，得， 求導得最值最小值為，即可證得；

（Ⅱ）不等式 在上恒成立，即 在上恒成立. 設 ， ，求最值即可.

試題解析：

（Ⅰ）證明： ， ，

易知圓在點處的切線方程為，

由題意知， ，即，解得，

， ，令，得，

當時， ， 在上單調(diào)遞減，

當時， ， 在上單調(diào)遞增.

因此， 在處取得極小值，也為最小值，最小值為，

又，故.

（Ⅱ）不等式 在上恒成立，

即 在上恒成立.

設 ， ，

則 ，

①當時， 在上恒成立， 在上是減函數(shù)，又，

故當時，總有，符合題意；

②當時，令，解得或，

易知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又，

故當時，總有，不符合題意；

③當時， 在上恒成立， 在上是減函數(shù)，又，故當時，總有，符合題意.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.