已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，點(diǎn)P（2，
3
）在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別是A、B，過(guò)點(diǎn)Q（2，0）的動(dòng)直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，連接AN、BM相交于G點(diǎn)，試求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由橢圓的離心率得到a，b的關(guān)系，再把P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得到a，b的關(guān)系，聯(lián)立方程組求得a，b的值，則橢圓方程；
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)Q（2，0）的動(dòng)直線斜率不存在時(shí)，直接解得M，N的坐標(biāo)，求出直線AN，BM的斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，求得交點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為8．當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程及M，N，G的坐標(biāo)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到M，N的橫坐標(biāo)的和與積，再由A、N、G共線與B、M、G共線把G點(diǎn)的縱坐標(biāo)用M，N的坐標(biāo)表示，由坐標(biāo)相等得到G點(diǎn)的橫坐標(biāo)與M，N坐標(biāo)的關(guān)系式，取G點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，同時(shí)代入M，N橫坐標(biāo)的和與積驗(yàn)證等式成立，說(shuō)明直線斜率存在時(shí)得到的G點(diǎn)的橫坐標(biāo)也是8．
解答： 解：（1）由e=
c
a
=
3
2
，得
c2
a2
=
3
4
，即
a2-b2
a2
=
3
4
，
整理得：a2=4b2  ①
又點(diǎn)P(2，
3
)在橢圓上，
∴
4
4b2
+
3
b 2
=1  ②
聯(lián)立①②解得b2=4，a2=16，
則橢圓C方程是
x2
16
+
y2
4
=1；
（2）由（1）知，A（-4，0），B（4，0），
當(dāng)過(guò)點(diǎn)Q（2，0）直線MN垂直于x軸時(shí)，交點(diǎn)為M(2，
3
)，N(2，-
3
)，
kAN=
-
3
-0
2+4
=-
3
6
，kBM=
3
-0
2-4
=-
3
2
，
由點(diǎn)斜式可得直線AN：y=-
3
6
(x+4)，直線MB：y=-
3
2
(x-4)，
聯(lián)立
y=-
3
6
(x+4)
y=-
3
2
(x-4)
，解得
x=8
y=-2
3
．
∴交點(diǎn)G(8，-2
3
)；
當(dāng)直線MN不垂直x軸時(shí)，
設(shè)直線MN：y=k（x-2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（t，yG），
聯(lián)立
y=k(x-2)
x2
16
+
y2
4
=1
，得（1+4k2）x2-16k2x+16k2-16=0．
x1+x2=
16k2
1+4k2
，x1x2=
16k2-16
1+4k2
   ③
∵
.
AG
=(t+4，yG)，
AN
=(x2+4，y2)，且A、N、G三點(diǎn)共線，
∴yG=
(t+4)y2
x2+4
，
∵
.
BG
=(t-4，yG)，
BM
=(x1-4，y1)，且B、M、G三點(diǎn)共線，
∴yG=
(t-4)y1
x1-4
，
∴
(t+4)y2
x2+4
=
(t-4)y1
x1-4
，即
(t+4)k(x2-2)
x2+4
=
(t-4)k(x1-2)
x1-4
，
整理得
t+4
t-4
=
(x2+4)(x1-2)
(x2-2)(x1-4)
，
取t=8得2x1x2-10（x1+x2）+32=0  ④
把③代入④得：2×
16k2-16
1+4k2
-10×
16k2
1+4k2
+32
=
32k2-32-160k2+32+128k2
1+4k2
=0成立．
∴G的橫坐標(biāo)的值為8．
點(diǎn)評(píng)：本題是直線與圓錐曲線的綜合題，考查了橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類(lèi)問(wèn)題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考試具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是壓軸題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x+λ•2-x（λ∈R），若不等式
1
2
≤f(x)≤4在x∈[0，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=（
3
sinx，cosx），
b
=（cosx，cosx），f（x）=
a
•
b
+m．
（1）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-
π
6
，
π
3
]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為2，求此函數(shù)f（x）的最大值，并指出x取何值時(shí)，函數(shù)f（x）取到最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

達(dá)州市萬(wàn)源中學(xué)實(shí)施“陽(yáng)光體育”素質(zhì)教育，要求學(xué)生在校期間每天上午第二節(jié)課下課后迅速到操場(chǎng)參加課間活動(dòng)．現(xiàn)調(diào)查高三某班學(xué)生從教室到操場(chǎng)路上所需時(shí)間（單位：分鐘）并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率直方圖（如圖），其中，路上所需時(shí)間的范圍是（0，10]，樣本數(shù)據(jù)分組為（0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]．
（Ⅰ）求直方圖t的值；
（Ⅱ）現(xiàn)有6名學(xué)生路上時(shí)間小于4分鐘，其中2人路上時(shí)間小于2分鐘．從這6人中任意選出2人，設(shè)這2人路上時(shí)間小于2分鐘人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖甲，矩形ABCD，（AB＞AD）的周長(zhǎng)是24，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過(guò)去后交DC于點(diǎn)P，得到圖乙，設(shè)AB=x，

（1）設(shè)PC=a，試用x表示出a；
（2）把△ADP的面積S表示成x的函數(shù)，并求出該函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若滿足對(duì)任意x∈A（其中A為定義域的子集），都有f（x）＞0，f′（x）＞0，則稱區(qū)間A為f（x）的一個(gè)“保號(hào)”區(qū)間（或稱f（x）在區(qū)間A內(nèi)具備“保號(hào)”性質(zhì)）．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)具備“保號(hào)”性質(zhì)，當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)F（x）=eaxf（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）=ex-ln（x+1）+2的最大“保號(hào)”區(qū)間；
（3）當(dāng)函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)不具備“保號(hào)”性質(zhì)，且f（x）＞0，f（x）+f′（x）＜0，在（0，1）內(nèi)討論xf（x）與
1
x
f（
1
x
）的大小，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=255，
1
1+an+1
-
1
1+an
=
1
256
（n∈N*），
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）設(shè)bk=ka2k（k∈N*），記數(shù)列{bk}的前k項(xiàng)和為Bk，求Bk的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，
m
=（2a，b）與
n
=（
3
，sinB）共線，
（1）求角A．
（2）將函數(shù)y1=sinx的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=f（x）的圖象，若f（A）=
1
2
，b=1，且△ABC的面積s=
3
2
，判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={（x，y）|y=|x|+m}，B={（x，y）|y=mx}，若集合A∩B中有且僅有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
 
．

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