Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=255，

1

1+an+1

-

1

1+an

=

1

256

（n∈N^*），
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）設(shè)bk=ka2k（k∈N^*），記數(shù)列{b_k}的前k項(xiàng)和為B_k，求B_k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)c_n=a_n+1，將遞推公式轉(zhuǎn)化為與c_n相關(guān)的式子，進(jìn)而求出數(shù)列的通向公式．
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用等比數(shù)列求和公式即可求解．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)c_n=a_n+1，則數(shù)列{

1

cn

}是一個(gè)等差數(shù)列，
又

1

c1

=

1

256

，d=

1

256

．
∴

1

cn

=

1

256

+

1

256

(n-1)
=

n

256

∴c_n=

256

n

∴a_n=c_n-1=

256

n

-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=n•a2n=

256n

2n

-n
∵當(dāng)n≤256時(shí)，a_n≥0，由2^k≤256，得k≤8
∴數(shù)列{b_k}的前8項(xiàng)和B₈最大．
又B8=256×(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

8

28

)-(1+2+3+…+8)
令T8=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

8

28

由錯(cuò)位相減法可求得
T8=2-5×(

1

2

)7
∴B₈=256×[2-5(

1

2

)7]-36=466．
∴B_k的最大值為466．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了利用遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)，以及等比數(shù)列的求和，屬于中檔題．