Question

如圖甲，矩形ABCD，（AB＞AD）的周長(zhǎng)是24，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去后交DC于點(diǎn)P，得到圖乙，設(shè)AB=x，

（1）設(shè)PC=a，試用x表示出a；
（2）把△ADP的面積S表示成x的函數(shù)，并求出該函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）本題充分利用勾股定理，找出a與x的數(shù)量關(guān)系；（2）用三角形面積公式，表示出面積的函數(shù)，再利用基本不等式求出面積的最大值．

解答： （1）∵AB=x，矩形周長(zhǎng)為24，
∴AD=12-x，AB折過去后，PC=a，
則PA=a，DP=x-a，在Rt△ADP中，（12-x）²+（x-a）²=a²
解得：a=

x2-12x+72

x

．
（2）DP=x-a=

12x-72

x

．
所以Rt△ADP的面積S=

1

2

(12-x)•

12x-72

x

=6×

-x2+18x-72

x

=6[-(x+

72

x

)+18]．
由

0＜x＜12 0＜a＜x

，得：6＜x＜12．
由基本不等式，得：x+

72

x

≥2

72

，當(dāng)且僅當(dāng)x=6

2

取等號(hào)．
由不等式的性質(zhì)，得：S≤6[-2

72

+18]=108-72

2

綜上，當(dāng)x=6

2

時(shí)△ADP的最大面積是108-72

2

．
故本題答案為：（1）得：a=

x2-12x+72

x

；（2）當(dāng)x=6

2

時(shí)，△ADP的最大面積是108-72

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于應(yīng)用題，考查了基本不等式的知識(shí)和數(shù)學(xué)建模的能力，解題時(shí)要注意不等式取等號(hào)的條件．對(duì)學(xué)生的能力要求較高，屬于中檔題．