Question

1．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M≥0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的一個上界，已知函數(shù)f（x）=1+a（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x，g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+x}{x-1}$．
（1）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[$\frac{5}{3}$，3]上的所有上界構(gòu)成的集合；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求出函數(shù)g（x）在區(qū)間[$\frac{5}{3}$，3]上的取值范圍，結(jié)合上界的定義進(jìn)行求解即可．
（2）由|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立，設(shè)$t={（{\frac{1}{2}}）^x}$，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3，$-（{t+\frac{4}{t}}）≤a≤\frac{2}{t}-t$在（0，1]上恒成立．由此入手，能夠求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）t=$\frac{1+x}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$，在$\frac{5}{3}$≤x≤3上為減函數(shù)，
∴2≤t≤4，
則log${\;}_{\frac{1}{2}}$4≤g（x）≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$2，
即-2≤g（x）≤-1，
則|g（x）|≤2，
即M≥2，
即函數(shù)g（x）在區(qū)間[$\frac{5}{3}$，3]上的所有上界構(gòu)成的集合為[2，+∞）．
（2）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立
設(shè)$t={（{\frac{1}{2}}）^x}$，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3
∴$-（{t+\frac{4}{t}}）≤a≤\frac{2}{t}-t$在（0，1]上恒成立…（6分）
設(shè)$h（t）=-t-\frac{4}{t}$，$p（t）=\frac{2}{t}-t$，h（t）在（0，1]上遞增；p（t）在（0，1]上遞減，h（t）在（0，1]上的最大值為h（1）=-5；p（t）在（0，1]上的最小值為p（1）=1，…（9分）
所以實數(shù)a的取值范圍為[-5，1]．…（10分）

點評 本題考查函數(shù)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，正確理解新定義，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．