Question

已知向量

a

=（-cosx，2sin

x

2

），

b

=（cosx，2cos

x

2

），f（x）=2-sin²x-

1

4

|

a

-

b

|²．
（1）將函數(shù)f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

，縱坐標(biāo)不變，繼而將所得圖象上的各點向右平移

π

6

個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且f（C）=2f（A），a=

5

，b=3，求c及cos（A+

π

4

）的值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可求f（x）=2-sin²x-cos²x-1+sinx=sinx，根據(jù)函數(shù)的圖象變換法則可得g（x）=sin（2x-

π

3

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由已知可得sinC=2sinA，結(jié)合正弦定理可得，c=2a=2

5

，由余弦定理可求cosA，進(jìn)而可求sinA，然后由兩角和的余弦公式可求．

解答： 解：（1）∵

a

=（-cosx，2sin

x

2

），

b

=（cosx，2cos

x

2

），
∴

a

-

b

=（-2cosx，2sin

x

2

-2cos

x

2

）
∴f（x）=2-sin²x-

1

4

|

a

-

b

|²
=2-sin²x-cos²x-1+sinx=sinx，
由題意，g（x）=sin2（x-

π

6

）=sin（2x-

π

3

），
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z
（2）由f（x）=sinx及f（C）=2f（A）可得sinC=2sinA
由正弦定理可得，c=2a=2

5

．
由余弦定理可得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2 5

5

，
于是sinA=

5

5

，
∴cos（A+

π

4

）=cosAcos

π

4

-sinAsin

π

4

=

10

10

．

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，二倍角公式及同角平方關(guān)系及兩角和的余弦公式的綜合應(yīng)用，是�？碱}型