Question

下列四個(gè)命題中：（1）a+b≥2

ab

（2）x∈（0，π），sin²x+

4

sin2x

最小值為4；（3）設(shè)x，y都是正數(shù)，若

1

x

+

9

y

=1，則x+y的最小值是12；（4）若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，則|x-y|＜2ε．其中所有真命題序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）只有當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，a+b≥2

ab

才能成立；
（2）由x∈（0，π），可得sinx∈（0，1]，可得sin²x+

4

sin2x

≥2

sin2x• 4 sin2x

=4，當(dāng)且僅當(dāng)sin²x=2取等號(hào)，而sin²x=2無(wú)解，等號(hào)不成立；
（3）設(shè)x，y都是正數(shù)，若

1

x

+

9

y

=1，則x+y=(x+y)(

1

x

+

9

y

)=10+

y

x

+

9x

y

，再利用基本不等式即可得出；
（4）若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，則|x-y|=|（x-2）-（y-2）|≤|x-2|+|y-2|＜?+?=2ε．

解答： 解：（1）只有當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，a+b≥2

ab

才能成立，因此是假命題；
（2）∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，∴sin²x+

4

sin2x

≥2

sin2x• 4 sin2x

=4，當(dāng)且僅當(dāng)sin²x=2取等號(hào)，而sin²x=2無(wú)解，因此最小值大于4，因此是假命題；
（3）設(shè)x，y都是正數(shù)，若

1

x

+

9

y

=1，則x+y=(x+y)(

1

x

+

9

y

)=10+

y

x

+

9x

y

≥10+2

y x • 9x y

=16，當(dāng)且僅當(dāng)y=3x=12時(shí)取等號(hào)，因此x+y的最小值是16，因此是假命題；
（4）若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，則|x-y|=|（x-2）-（y-2）|≤|x-2|+|y-2|＜?+?=2ε，即|x-y|＜2?，因此是真命題．
其中所有真命題序號(hào)是 ④．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．