Question

(本題滿分18分，其中第1小題4分，第2小題6分，第,3小題8分)
一青蛙從點(diǎn)開始依次水平向右和豎直向上跳動，其落點(diǎn)坐標(biāo)依次是，(如圖所示，坐標(biāo)以已知條件為準(zhǔn))，表示青蛙從點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路程。
(1) 若點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上
一點(diǎn)，點(diǎn)，均在該拋物線上，并且直線經(jīng)
過該拋物線的焦點(diǎn)，證明.
(2)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上，
要么落在所表示的曲線上，并且,
試寫出（不需證明）；
(3)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且，求的表達(dá)式.

Answer 1

解：(1)設(shè)，由于青蛙依次向右向上跳動，
所以，，由拋物線定義知：            分
(2) 依題意，


隨著的增大，點(diǎn)無限接近點(diǎn)                            分
橫向路程之和無限接近，縱向路程之和無限接近       分
所以 =                                              分
(3)方法一：設(shè)點(diǎn)，由題意，的坐標(biāo)滿足如下遞推關(guān)系：，且
其中                 分
∴，即，
∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴，
所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，于是，
又
∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，        分
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，



當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，



所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
所以，                        分
方法二：由題意知      
其中

觀察規(guī)律可知：下標(biāo)為奇數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。相鄰橫坐標(biāo)之差為首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列。下標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)也有此規(guī)律。并由數(shù)學(xué)歸納法可以證明。                                                              分
所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，                              
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，    分
所以，                     分
 

略