Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊做兩個(gè)角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的坐標(biāo)及$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$夾角的余弦；
（2）推導(dǎo)公式cos（α-β）和cos（α+β）的公式．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$的坐標(biāo)，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式可得cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$，計(jì)算求的結(jié)果．
（2）以O(shè)x軸為始邊做出角-β的終邊，與單位圓相交于C，則由題意可得∠AOB=α-β+2kπ，∠AOC=α+β+2kπ，k∈Z．從而求得cos（α-β）=cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$，以及cos（α+β）=cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞的結(jié)果．

解答 解：（1）由題意可得，$\overrightarrow{OA}$的坐標(biāo)為（cosα，sinα），$\overrightarrow{OB}$的坐標(biāo)（cosβ，sinβ）．
cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{cosαcosβ+sinαsinβ}{1×1}$=cos（α-β）．
（2）以O(shè)x軸為始邊做出角-β的終邊，與單位圓相交于C，則由題意可得C（cosβ，-sinβ），∠AOB=α-β+2kπ，∠AOC=α+β+2kπ，k∈Z．
故cos（α-β）=cos∠AOB=cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{cosαcosβ+sinαsinβ}{1×1}$=cosαcosβ+sinαsinβ．
cos（α+β）=cos∠AOC=cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{cosαcosβ-sinαsinβ}{1×1}$=cosαcosβ-sinαsinβ．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查終邊相同的角，兩角和差的余弦公式，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．