如圖，底面為直角梯形的四棱錐中，AD∥BC，平面， ，BC＝6．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考察線面垂直和二面角的求法，可以用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量法，突出考察空間想象能力和計(jì)算能力，（Ⅰ）由平面，得到，要證明平面，只需證明，在中，,在中，，所以,又,,所以，可證平面；（Ⅱ）用向量法求解，先求出面和面的法向量，再利用夾角公式求夾角.
試題解析：（Ⅰ）方法一：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，               2分
．，，
又， 面．                       6分
方法二：由平面，∴，在中，,在中，，所以,又,,所以，又∵,面
（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則                                         8分

解得．
令，則     10分

二面角的余弦值為．      12分

考點(diǎn)：1、線面垂直的判定定理；2、向量法求二面角的大小.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在三棱錐中,側(cè)面與底面垂直, 分別是的中點(diǎn),,,.

(Ⅰ)求證：平面;
(Ⅱ)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，邊長為2的正方形ABCD，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，將△AED，△DCF分別沿DE,DF折起，使A,C兩點(diǎn)重合于.

(1)求證：⊥EF;
(2)求二面角的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，長方體中，，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).

（1）證明：平面;
（2）證明：;
（3）求二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知.

（1）設(shè)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，在圓錐PO中， PO=,?O的直徑AB=2， C為弧AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn).

(1)求證：平面POD^平面PAC；
(2)求二面角B—PA—C的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明 平面EDB；
（Ⅱ）求EB與底面ABCD所成的角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在三棱拄中，側(cè)面，已知，，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）試在棱(不包含端點(diǎn))上確定一點(diǎn)的位置，使得；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,求和平面所成角正弦值的大小.                                    

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面，為中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）若，求證：平面.

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