Question

設(shè)函數(shù)y=4x³+ax²+bx+5在x=

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與x=-1時(shí)有極值．
（1）寫出函數(shù)的解析式；    
（2）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后根據(jù)在x=

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與x=-1時(shí)有極值，導(dǎo)數(shù)值為0，結(jié)合韋達(dá)定理可得a，b的值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；    
（2）分析導(dǎo)函數(shù)在定義域各個(gè)子區(qū)間上的符號，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵y=4x³+ax²+bx+5，
∴y′=12x²+2ax+b，
又∵函數(shù)y=4x³+ax²+bx+5在x=

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與x=-1時(shí)有極值，
故x=

3

2

與x=-1為方程y′=12x²+2ax+b=0的兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理得：

3

2

-1=

1

2

=-

2a

12

=-

a

6

，

3

2

×（-1）=-

3

2

=

b

12

，
解得a=-3，b=-18，
故y=4x³-3x²-18x+5，
（2）由（1）得y′=12x²-6x-18=6（2x-3）（x+1），
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（

3

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，+∞）時(shí)，y′＞0，當(dāng)x∈（-1，

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）時(shí)，y′＜0，
故函數(shù)y=4x³-3x²-18x+5的單調(diào)調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-1），（

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，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為：（-1，

3

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）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)解析式的求解及常用方法，是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的簡單綜合應(yīng)用，難度中檔．