【題目】已知函數(shù) ,g(x)=xlnx﹣a(x﹣1).
(1)求函數(shù)f(x)在點(4,f(4))處的切線方程;
(2)若對任意x∈(0,+∞),不等式g(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值的集合M;
(3)當a∈M時,討論函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)的單調(diào)性.
【答案】
(1)解:∵ ,∴f'(4)=e2,又∵f(4)=e2,
∴函數(shù)f(x)在點(4,f(4))的切線方程為y﹣e2=e2(x﹣4),
即y=e2x﹣3e2;
(2)解:由g(1)=0及題設(shè)可知,對任意x∈(0,+∞),不等式g(x)≥g(1)恒成立,
∴函數(shù)g(x)=xlnx﹣a(x﹣1)必在x=1處取得極小值,即g'(1)=0,
∵g'(x)=lnx+1﹣a,∴g'(1)=1﹣a=0,即a=1,
當a=1時,g'(x)=lnx,∴x∈(0,1),g'(x)<0;x∈(1,+∞),g'(x)>0,
∴g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,
則g(x)min=g(1)=0
∴對任意x∈(0,+∞),不等式g(x)≥g(1)=0恒成立,符合題意,即a=1,
∴M={1};
(3)解:由(Ⅱ)a=1,
∴函數(shù) ,其定義域為(0,+∞),
求得 ,
令m(x)=h'(x), 為區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù),
設(shè)x0為函數(shù)m'(x)的零點,即 ,則 ,
∵當0<x<x0時,m'(x)<0;當x>x0時,m'(x)>0,
∴函數(shù)m(x)=h'(x)在區(qū)間(0,x0)上為減函數(shù),在區(qū)間(x0,+∞)上為增函數(shù),
∴ ,
∴函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù).
【解析】(1)求出原函數(shù)的導函數(shù),得到f'(4)=e2 , 又f(4)=e2 , 則函數(shù)f(x)在點(4,f(4))的切線方程為y﹣e2=e2(x﹣4),即y=e2x﹣3e2;(2)求出原函數(shù)的導函數(shù),根據(jù)a的取值對函數(shù)的單調(diào)性加以判斷,當a=1時,g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,對任意x∈(0,+∞),不等式g(x)≥g(1)=0恒成立,符合題意,即a=1,從而求出實數(shù)a的取值的集合M;(3)把a的值代入函數(shù)解析式,然后求函數(shù)的導函數(shù),求出導函數(shù)的零點,由導函數(shù)的零點把定義域分段,根據(jù)導函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x2+2ex﹣x﹣ +m (x>0),若f(x)=0有兩個相異實根,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(﹣e2+2e,0)
B.(﹣e2+2e,+∞)
C.(0,e2﹣2e)
D.(﹣∞,﹣e2+2e)
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【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD的底面為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角
D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角
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【題目】下列函數(shù)在區(qū)間(0,π)上為減函數(shù)的是( )
A.y=(x﹣3)2
B.y=sinx
C.y=cosx
D.y=tanx
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【題目】已知函數(shù)的圖象與軸相切,且切點在軸的正半軸上.
(1)求曲線與軸,直線及軸圍成圖形的面積;
(2)若函數(shù)在上的極小值不大于,求的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系xoy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為θ= ,曲線C的參數(shù)方程為 .
(1)寫出直線l與曲線C的直角坐標方程;
(2)過點M平行于直線l1的直線與曲線C交于A、B兩點,若|MA||MB|= ,求點M軌跡的直角坐標方程.
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【題目】如圖 已知A(1,2)、B(﹣1,4)、C(5,2),
(1)求線段AB中點D坐標;
(2)求△ABC的邊AB上的中線所在的直線方程.
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【題目】如圖,ABCD﹣A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論錯誤的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.異面直線AD與CB1角為60°
D.AC1⊥平面CB1D1
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