Question

已知三邊長分別為4、5、6的△ABC的外接圓恰好是球O的一個大圓，P為球面上一點，若點P到△ABC的三個頂點的距離相等，則三棱錐P-ABC的體積為：

1. A.
   8
2. B.
   10
3. C.
   20
4. D.
   30

Answer 1

B
分析：由題設(shè)條件知，三棱錐的高是球的半徑，而底面三角形的外接圓是球O的一個大圓，此關(guān)系使得求三棱錐P-ABC的體積時無需再考慮求球的半徑，因其在求解中正好可以消去，使得此幾何體的體積只與三角形的邊長有關(guān)．
解答：P在面ABC上的射影為O，則OA=OB=OC=OP=R，
∴S_△ABC==
∴V_P-ABC==10，
故選B
點評：本題考點是棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查球內(nèi)接多面體的幾何特征，以及利用這些幾何特征靈活組合達(dá)到簡化解題的目的，本題由于注意三棱錐的高是其外接球的半徑，而其底面三角形外接圓恰是球的大圓這一特征，使解體過程越過了求棱錐高，直接用三個邊長把棱錐的體積表示出來，此題的解題過程提示我們，解題時一定要綜合利用題設(shè)中所給的每一個條件進(jìn)行合理的組合，組合出一個最佳的解題方案．