Question

【題目】某學(xué)習(xí)小組在暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，通過(guò)對(duì)某商店一種商品銷(xiāo)售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）的日銷(xiāo)售價(jià)格（元）與時(shí)間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿(mǎn)足（為正常數(shù)）.該商品的日銷(xiāo)售量（個(gè)）與時(shí)間（天）部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

（天）	10	20	25	30
（個(gè)）	110	120	125	120

已知第10天該商品的日銷(xiāo)售收入為121元.

（I）求的值;

（II）給出以下二種函數(shù)模型：

①，②，

請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來(lái)描述該商品的日銷(xiāo)售量與時(shí)間的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式;

（III）求該商品的日銷(xiāo)售收入（元）的最小值.

（函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.性質(zhì)直接應(yīng)用.）

Answer 1

【答案】(I)1,(II) ;(III) 121元

【解析】

（I）利用列方程，解方程求得的值.

（II）根據(jù)題目所給表格的數(shù)據(jù)，判斷出日銷(xiāo)售量不單調(diào)，由此確定選擇模型②.將表格數(shù)據(jù)代入，待定系數(shù)法求得的值，也即求得的解析式.

（III）將寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，由計(jì)算出日銷(xiāo)售收入的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的最小值.

（I）依題意知第10天該商品的日銷(xiāo)售收入為

，解得.

（II）由題中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，該商品的日銷(xiāo)售量有增有減并不單調(diào)，故只能選②.

從表中任意取兩組值代入可求得

（III）由（2）知

∴

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，在區(qū)間上是單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且;

當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減的，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且.

故該商品的日銷(xiāo)售收入的最小值為121元.