已知
a
=(sinθ,cosθ)
b
=(
3
,1)

(1)若
a
b
,求tanθ的值;
(2)若f(θ)=|
a
+
b
|
,△ABC的三條邊分別為f(-
3
)、f(-
π
6
)、f(
π
3
),求△ABC的面積.
分析:(1)由兩向量的坐標及兩向量平行,利用平面向量平行的條件列出關(guān)系式,變形即可求出tanθ的值;
(2)利用平面向量數(shù)量積運算法則表示出f(θ),進而求出f(-
3
)、f(-
π
6
)、f(
π
3
)的值,確定出a,b,c的值,利用余弦定理表示出cosB,將a,b,c的值代入求出cosB的值,確定出sinB的值,由a,c,sinB的值,利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積.
解答:解:(1)∵
a
=(sinθ,cosθ),
b
=(
3
,1),
a
b

∴sinθ-
3
cosθ=0,
∴sinθ=
3
cosθ,
即tanθ=
3
;
(2)∵
a
+
b
=(sinθ+
3
,cosθ+1),
∴|
a
+
b
|=
(sinθ+
3
)2+(cosθ+1)2
=
5+2
3
sinθ+2cosθ
=
5+4sin(θ+
π
6
)
,
∴a=f(-
3
)=
5+4sin(-
π
2
)
=1,b=f(-
π
6
)=
5
,c=f(
π
3
)=
5+4sin
π
2
=3,
由余弦定理可知:cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
1+9-5
2×1×3
=
5
6
,
∴sinB=
1-cos2B
=
11
6
,
則S△ABC=
1
2
acsinB=
11
4
點評:此題考查了余弦定理,平面向量的數(shù)量積運算,三角形的面積公式,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

19、已知a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),則a、b、c的大小關(guān)系是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
=(sinθ,1)
,
b
=(1,cosθ)
,
c
=(0,3)
-
π
2
<θ<
π
2

(1)若(4
a
-
c
)∥
b
,求θ;
(2)求|
a
+
b
|
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列命題:
(1)若函數(shù)f(x)=lg(x+
x2+a
),為奇函數(shù),則a=1;
(2)函數(shù)f(x)=|sinx|的周期T=π;
(3)已知
a
=(sinθ,
1+cosθ
),
b
=(1,
1-cosθ
)
,其中θ∈(π,
2
),則
a
b

(4)在△ABC中,
BA
=a,
AC
=b,若a•b<0,則△ABC是鈍角三角形
( 5)O是△ABC所在平面上一定點,動點P滿足:
OP
=
OA
+λ(
AB
sinC
+
AC
sinB
)
,λ∈(0,+∞),則直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心.
以上命題為真命題的是
(1)(2)(3)(5)
(1)(2)(3)(5)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知
a
=(sin(
π
4
+2α),
6
6
),
b
=(sin(
π
4
-2α),-
6
6
)
α∈(
π
4
,
π
2
)
,且
a
b
,求
2
sin2α+2cos2α
的值.

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