Question

18．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大小；      
（Ⅱ）若b=2，c=3，D為AC的中點(diǎn)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)兩角和差的正弦公式，即可求角A的大小；      
（Ⅱ）由余弦定理，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)锳+B+C=π，
所以A+C=π-B A+C=π-B，A，B∈（0，π） A，B∈（0，π），
所以sin（A+C）=sinB＞0 sin（A+C）=sinB＞0；
又2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB…（2分）
所以$cosA=\frac{1}{2}$，$cosA=\frac{1}{2}，A=\frac{π}{3}$．
即$A=\frac{π}{3}$…（4分）
（Ⅱ）b=2可得AD=1，…（5分）
在△ABD由余弦定理得：
BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=7，a²=b²+c²-2bccosA$BD=\sqrt{7}$．                                                   …（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理和余弦定理以及兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵．