Question

8．某同學(xué)參加4門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平考試，假設(shè)該同學(xué)第一門學(xué)科取得優(yōu)秀成績的概率為$\frac{2}{3}$，第二門學(xué)科取得優(yōu)秀成績的概率為$\frac{4}{5}$，第三、第四門學(xué)科取得優(yōu)秀成績的概率分別為m，n（m＞n），且不同學(xué)科是否取得優(yōu)秀成績相互獨(dú)立，記ξ為該同學(xué)取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為如下表：

ξ	0	1	2	3	4
p	$\frac{1}{120}$	x	y	z	$\frac{1}{5}$

（1）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 設(shè)事件A_i 表示“該生第i 門課程取得優(yōu)秀成績”，其中i=1，2，3，4 由題意知：$P（{A_1}）=\frac{2}{3}$，$P（{A_2}）=\frac{4}{5}$，P（A₃）=m，P（A₄）=n，
（1）利用對立事件的概率，求解即可．
（2）利用P（ξ=0），P（ξ=4）的概率，列出方程，即可求出m、n的值．
（3）利用已知條件求出x，y，z，然后求解期望．

解答 解：設(shè)事件A_i 表示“該生第i 門課程取得優(yōu)秀成績”，其中i=1，2，3，4 由題意知：$P（{A_1}）=\frac{2}{3}$，$P（{A_2}）=\frac{4}{5}$，P（A₃）=m，P（A₄）=n，
（1）由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“ξ=0”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是：$1-P（{ξ=0}）=1-\frac{1}{120}=\frac{119}{120}$，…3分
（2）由題意可知：$P（{ξ=0}）=P（{\overline{{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}}}）=\frac{1}{3}×\frac{1}{5}（{1-m}）（{1-n}）=\frac{1}{120}$，$P（{ξ=4}）=P（{{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}}）=\frac{2}{3}×\frac{4}{5}mn=\frac{1}{5}$，
整理得$\left\{\begin{array}{l}m+n=\frac{5}{4}\\ mn=\frac{3}{8}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{3}{4}\\ n=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ n=\frac{3}{4}\end{array}\right.$，
又因?yàn)閙＞n，所以$m=\frac{3}{4}，n=\frac{1}{2}$ 即為所求． …8分
（3）又$x=P（{ξ=1}）=P（{{A_1}\overline{{A_2}{A_3}{A_4}}}）+P（{\overline{A_1}{A_2}\overline{{A_3}{A_4}}}）+P（{\overline{{A_1}{A_2}}{A_3}\overline{A_4}}）+P（{\overline{{A_1}{A_2}{A_3}}{A_4}}）$
=$\frac{2}{3}×\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$ …10分 $y=P（{ξ=2}）=P（{{A_1}{A_2}\overline{{A_3}{A_4}}}）+P（{{A_1}{A_3}\overline{{A_2}{A_4}}}）+P（{{A_1}{A_4}\overline{{A_2}{A_3}}}）+P（{{A_2}{A_3}\overline{{A_1}{A_4}}}）+P（{{A_2}{A_4}\overline{{A_1}{A_3}}}）+P（{{A_3}{A_4}\overline{{A_1}{A_2}}}）$
=$\frac{2}{3}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{7}{24}$ …12分
$z=P（{ξ=3}）=1-P（{ξ=0}）-P（{ξ=1}）-P（{ξ=2}）-P（{ξ=4}）=1-\frac{1}{120}-\frac{10}{120}-\frac{35}{120}-\frac{24}{120}=\frac{5}{12}$ …14分
則Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）+4×P（ξ=4）
=$0×\frac{1}{120}+1×\frac{10}{120}+2×\frac{35}{120}+3×\frac{50}{120}+4×\frac{24}{120}=\frac{163}{60}$ …16分

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列期望的求法，考查概率的求法，是中檔題．