設(shè)向量
a
=(sinx，
3
cosx)，
b
=(cosx，cosx)．
（1）若
a
∥
b
（0＜x＜
π
2
），求tanx的值；
（2）求函數(shù)f（x）=
a
•
b
的最小正周期和函數(shù)在x∈(0，
π
2
)的最大值及相應(yīng)x的值．
分析：（1）利用兩個向量平行的性質(zhì)可得 sinxcosx-
3
cos2x=0，再由 0＜x＜
π
2
，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanx的值．
（2）利用兩個向量的數(shù)量積公式以及兩角和差的正弦公式求得f（x）=sin（2x+
π
3
）+
3
2
，由此求得它的最小正周期．再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的最大值．
解答：解：（1）∵向量
a
=(sinx，
3
cosx)，
b
=(cosx，cosx)，
a
∥
b
，∴sinxcosx-
3
cos2x=0．
∵0＜x＜
π
2
，∴sinx-
3
cosx=0，tanx=
sinx
cosx
=
3
．
（2）函數(shù)f（x）=
a
•
b
=sinxcosx-
3
cos2x=
1
2
sin2x+
3
2
cos2x+
3
2

=sin（2x+
π
3
）+
3
2
，故它的最小正周期為
2π
2
=π．
再由 x∈(0，
π
2
)，可得 2x+
π
3
∈（
π
3
，
4π
3
），
故當(dāng) 2x+
π
3
=
π
2
時，函數(shù)取得最大值為
3
2
，此時，x=
π
12
．
點評：本題主要考查兩個向量平行的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=(sinx，1)，
b
=(1，cosx)，記f(x)=
a
•
b
，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（I）求函數(shù)F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最大值和最小正周期；
（II）若f（x）=2f′（x），求
1+2sin2x
cos2x-sinxcosx
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=(sinx，
3
cosx)，
b
=（cosx，cosx），(0＜x＜
π
2
)．
（1）若
a
∥
b
，求tanx的值；
（2）求函數(shù)f（x）=
a
•
b
的周期和函數(shù)最大值及相應(yīng)x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)，x∈R，函數(shù)f(x)=
a
•(
a
+
b
)．
（Ⅰ）求f（x）最大值和此時相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥
3
2
成立的x的取值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)，x∈R，函數(shù)f(x)=
a
•(
a
+
b
)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在x∈[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．

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