設(shè)向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)，x∈R，函數(shù)f(x)=
a
•(
a
+
b
)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在x∈[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．
分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為
3
2
+
2
2
cos（2x+
π
4
），由此求得它的周期．
（Ⅱ）令 2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅲ）由于x∈[-
π
4
，
π
4
]，故2x+
π
4
∈[-
π
4
，
3π
4
]，結(jié)合函數(shù)圖象可得函數(shù)的最小值和函數(shù)的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得 函數(shù)f（x）=
a
•(
a
+
b
)=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，2cosx）=sinx（sinx+cosx ）+2cos2x=1+
1
2
sin2x+
1+cos2x
2

=
3
2
+
2
2
cos（2x+
π
4
），
故函數(shù)的周期等于
2π
2
=π．
（Ⅱ）令 2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
，k∈z，kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
，k∈z，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
]，k∈z．
（Ⅲ）由于x∈[-
π
4
，
π
4
]，故2x+
π
4
∈[-
π
4
，
3π
4
]，故當(dāng)2x+
π
4
=-
π
4
時，函數(shù)取得最小值為1，當(dāng) 2x+
π
4
=
π
2
時，函數(shù)取得最大值為
3+
2
2
．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，求復(fù)合三角函數(shù)的增區(qū)間，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=(sinx，1)，
b
=(1，cosx)，記f(x)=
a
•
b
，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（I）求函數(shù)F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最大值和最小正周期；
（II）若f（x）=2f′（x），求
1+2sin2x
cos2x-sinxcosx
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=(sinx，
3
cosx)，
b
=(cosx，cosx)．
（1）若
a
∥
b
（0＜x＜
π
2
），求tanx的值；
（2）求函數(shù)f（x）=
a
•
b
的最小正周期和函數(shù)在x∈(0，
π
2
)的最大值及相應(yīng)x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=(sinx，
3
cosx)，
b
=（cosx，cosx），(0＜x＜
π
2
)．
（1）若
a
∥
b
，求tanx的值；
（2）求函數(shù)f（x）=
a
•
b
的周期和函數(shù)最大值及相應(yīng)x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(cosx，cosx)，x∈R，函數(shù)f(x)=
a
•(
a
+
b
)．
（Ⅰ）求f（x）最大值和此時相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥
3
2
成立的x的取值集合．

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