Question

11．下列幾個命題中真命題的序號是（2）（4）．
（1）已知函數(shù)f（x）的定義域為[2，5），則f（2x-1）的定義域為[3，9）；
（2）函數(shù)$y=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$是偶函數(shù)，也是奇函數(shù)；
（3）若f（x+1）為偶函數(shù)，則f（x+1）=f（-x-1）；
（4）已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a≥5．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的定義域為[2，5），知2x-1∈[2，5），解出x的范圍即為定義域；
（2）求出定義域可得函數(shù)為y=0，滿足f（x）=f（-x），也滿足f（x）=-f（-x），故是偶函數(shù)，也是奇函數(shù)，
（3）由f（x+1）為偶函數(shù)，由定義可知f（-x+1）=f（x+1）；
（4）利用二次函數(shù)的對稱軸可得-a≤-5，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）的定義域為[2，5），
∴2x-1∈[2，5），
∴x∈[$\frac{3}{2}$，3），故錯誤；
（2）$y=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$的定義域為{1，-1}，此時y=0，故是偶函數(shù)，也是奇函數(shù)，故正確；
（3）f（x+1）為偶函數(shù)，
∴f（-x+1）=f（x+1），故錯誤；
（4）已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴-a≤-5，
∴a≥5，故正確．
故正確選項為（2）（4）．

點評 考查了符合函數(shù)的定義域和奇偶性，二次函數(shù)的單調(diào)性判斷．屬于基礎(chǔ)題型，應熟練掌握．